المتباينة :
المطلوب :
- برهنة صحة المتباينة اذا كان :
1)$ 0 < a,b,c $
2) $ abc=1 $
الحــــــل :
بفرض أن : $a=\frac{x}{y} \ , \ b= \frac{y}{z} \ , \ c= \frac{z}{x}$
تصبح المتباينة :
$\sum_{cyc}\frac{y}{2y+x}\leq 1 $
لدينا :
$\sum_{cyc}\frac{y}{2y+x}=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{2y+x-x}{2y+x}=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\left ( 1-\frac{x}{2y+x} \right )$
منه فهذا يستلزم أن نبرهن على :
$1\leq \sum_{cyc} \frac{x}{2y+x} $
من متباينة كوشي شواريز لدينا :
$1=\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\leq \sum_{cyc} \frac{x}{2y+x} $
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق